Kamis, 01 Januari 2009

GEOMETRI DIMENSI TIGA



RUANG DIMENSI TIGA

1. Volume Bangun Ruang (mengulang)
A. Kubus (Hilisaeder)

Kubus adalah suatu benda yang buat oleh enam bidang datar yang masing-masing berbentuk persegi panjang yang sama dan sebangun (kongruen) Keenam bidang kubus disebut bidang batas, bidang sisi, atau sisi kubus.
Rumus Euler

Hubungan sisi, rusuk, dan titik sudut suatu bangun ruang dirumuskan oleh euler dalam bentuk :
S + T = R + 2
Dengan : S = Banyak sisi
T = Banyak titik sudut
R = Banyak rusuk
Contoh :
Suatu bangun ruang dibentuk dari lima sisi dengan enam titik sudutnya, tentukan banyak rusuk bangun ruang itu?
Jawab :
Sisi : S = 5
Titik sudut : T = 6
Berdasrkan rumus euler : S + T = R + 2
5 + 6 = R + 2
11= R + 2
R = 11 – 2 = 9
Simetri pada Kubus
Bidang simetri kubus adalah bidang yang membagi kubus menjadi dua bagian yang sama besar, dengan bagian yang satu merupakan cermin bagian yang lain. Sumbu simetri putar adalah sumbu yang apabila kibus diputar pada sumbu tersebut maka kubus akan kembali menempati posisinya semula.


2. Luas Permukaan dan Volume Kubus
Bila panjang rusuk kubus adalah a, maka :

Contoh :
Volume sebuah kubus 27 liter, tentukanlah :
a. Luas Bidang diagonal kubus
b. Luas permukaan kubus
Jawab :
Volume = 27 liter = 27 dm
Volume = = 27 dm
= ( 3 dm )
= 3 dm
a. Luas bidang diagonal kubus
dm = = dm
b. Luas permukaan kubus
6 dm = 6(3) dm
= 6 . 9 dm = 54 dm .

B. Balok (Peralelepipedum siku-siku)
Luas permukaan dan Volume Balok
Jika balok dengan ukuran panjang = p, lebar = 1, dan tinggi = t, maka :
• Volume balok = P . T
• Luas permukaan balok = 2(p + t + pt)
• Luas balok tanpa tutup = p + 2( t + pt)
• Panjang diagonal ruang ( ), ditentukan oleh

C. Prisma
Prisma adalah suatu benda yang dibatasi oleh dua buah bidang yang yang sejajar dan oleh beberapa bidang yang memotong menurut garis-garis sejajar.
Sifat-sifat prisma Tegak :
o Semua bidang sisi tegaknya berbentuk persegi panjang
o Bidang alas dan bidang atasnya adalah sama dan sebangun
o Panjang semua rusuk tegaknya adalah sama
o Banyak diagonal ruang yang terdapat dalam prisma segi-n adalah buah.
o Semua bidang diagonal berbentuk jajaran genjang
o Banyak bidang diagonal yang terdapat dalam prisma segi-n adalah buah.
o Prisma segi-n mempunyai (n + 2) sisi
o Prisma segi-n mempunyai (3n) rusuk.
Contoh :
Diketahui suatu prisma tegak dengan alas segi enam dan tidak beraturan titik-titik :
a. Banyak diagonal ruangnya
b. Banyak bidang diagonalnya
c. Bangun/bentuk bidang diagonalnya
d. Banyak sisi
e. Banyak rusuk
Jawab :
Prisma masing-masing segi enam tidak beraturan, n = 6
a. Banyak diagonal ruang = buah
= 6 - 3.6 buah
= 18 buah.
b. Banyak bidang diagonal =9 buah.
c. Bidang diagonalnya berbentuk jajaran genjang
d. Banyak sisi = n + 2
= 6 + 2 = 8 buah
e. Banyak rusuk = 3n
= 3.6 = 18 buah.
D. Limas
Limas adalah suatu benda yang dibatasi oleh suatu segi dan beberapa segitiga dengan suatu titik diluar segi banyak sebagai titik sudut puncak persekutuan dan sisi-sisi segi banyak rusuk alas limas. Luas segi-n mempunyai n sisi tegak, 1 sisi alas dan 2n sisi tegak.
Luas Permukaan dan Volume Limas
I. Luas permukaan limas = Luas alas +Luas selimut
II. Volume Limas = x luas x tinggi
III. Volume bidang empat beraturan = .
Contoh :
Bila tinggi limas 12 cm dan panjang rusuk alasnya 10 cm. seperti pada gambar, ditanya :
a. Luas permukaan Limas
b. Volume Limas
Jawab :
Diketahui : a = 10 cm
t = 12 cm
berdasarkan teorema phytagoras pada T E F diperoleh :
= 5 + 12
= 169
= 13 C = 13 cm

a. Luas permukaan Lima s = Luas alas + Luas Limit
= a + 4 . . C
= a (a + 2 C)
= 10 (10 + 26)
= 10 . 36
= 360
Jadi luas permukaan limas : 360 cm
b. Volume Limas = x luas x tinggi
= a x t
= x 100 x 12
= 400
Jadi Volume limas = 400 cm .


E. Silinder, Kerucut dan Bola
I. Silinder atau tabung merupakan prisma tegak yang alasnya berupa lingkaran
II. Kerucut merupakan limas yang alasnya berbentuk lingkaran
III. Bola merupakan bangunan ruangan tiap titik pada permukaannya, mempunyai jarak yang sama terhadap titik pusatnya.
Contoh :
1. Tentukan Volume yang jari-jari alasnya 10 cm dan tingginya 25 cm
Jawab :
Diketahui : r = 10 cm
T = 25 cm
Jawab :
V =
= 3,14x10 x 25 (diambil = 3,14 r dan t bukan kelipatan 7)
= 314 x 25
= 7850 cm
Jadi Volume tabung adalah 7850 cm


2. Hitunglah berat kawat (dalam kg) yang panjangnya 1 km dan jari-jari penampangnya 1,4 mm. apabila 1cm kawat beratnya 8,5 gram?
Jawab :
Diketahui : t = 1 km = 100.000 cm
R = 1,4 mm = 0,14 cm
Jawab :
V = V = x (0,14) x 100.000
= 6.160 cm
Barat kawat = 6.160 x 8,5 gram
= 52.360 gram
Jadi berat kawat = 52.360 gram = 52.36 kg.

MELUKIS BANGUN RUANG.
Proyeksi
Proyeksi merupakan cara untuk melukis suatu bangun datar (dua dimensi) atau bangun ruang (tiga dimensi) pada bidang datar dengan cara menjatuhkan setiap titik pada bangun atau bentuk kebidang proyeksi.

Kedudukan titik, garis dan bidang dalam ruang.
Pengertian dasar unsur-unsur dalam Ruang
- Titik
Titik tidak mempunyai ukuran dan sering disebut benda berdimensi nol
- Garis (garis lurus)
Sebuah garis panjang tak hingga, karena itu gambar sebuah garis biasanya dilukiskan dengan wakil dari garis itu.
- Bidang
Bidang yang dimaksud disini adalah bidang datar dan dapat dijumpai sebagai permukaan atau sisi dari benda luar.
Jarak Dalam Ruang
Jarak adalah panjang garis hubung terpendek antara dua unsure ruang, yaitu titik, garis, dan bidang.
- Jarak antar dua buah titik
Adalah panjang garis yang menghubungkan ke dua titik itu.
- Jarak titik ke bidang
Proyeksi sebuah titik kebidang adalah titik potong garis yang melalui titiktersebut dengan bidang dimana garis itu tegak lurus terhadap bidangnya. Jarak titik terhadap bidang sama dengan panjang garis yang menghubungkan titik dengan proyeksi pada bidang.
Sudut Dalam Ruang
- Sudut antara dua bidang
Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis, masing-masing satupada setiap bidang, dimana kedua garis tersebut tegak lurus pada garis potong ke dua bidang dan berpotongan pada satu titik digaris potong ke dua bidang tersebut, sudut ini disebut tumpuan.
- Sudut antar garis dan Bidang
Sudut antar garis dan bidang adalah sudut antara garis tersebut dengan proyeksi garis pada bidang.
- Garis tegak lurus bidang
Jika sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang sama dengan 90 maka garis tersebut dikatakan tegak lurus bidang.

Soal Dan Pembahasan
1. Jika volume kubus 27 cm , panjang diagonalnya sisi kubus adalah …
Jawab :
Diketahui : volume = 27 cm
Misalnya panjang rusuk kubus = 0
Volume kubus = a
27 = a
a = 3
Jadi panjang rusuk kubus = 3 cm, panjang diagonalnya/sisi kubus adalah cm.


2. Perhatikan gambar kubus ABCD, EFGH dibawah. Titik p merupakan titik potong diagonal bidang atas, jarak antara titik B dengan titik P adalah…

Jawab :
Bahwa BFP adalah siku-siku di F. dengan teorema Pythagoras :
BP = BF + FP
BF = 6 cm dan FP = x FH =
Jadi : BP = 6 + ( )
BP = 36 + 18
BP = 54

3. Balok ABCD.EFGH mempunyai panjang 4 cm, lebar 2 cm, dan tinggi 3 cm, jarak antara BE dengan bidang CDHG adalah….
Jawab :

BE sejajar dengan bidang CDHG. CH terletak pada bidang CDHG dan sejajar dengan BE. Jarak BE dengan bidang CDHG sama dengan panjang BC.
BC = 2 cm.
Jadi jarak antara bidang CDHG adalah 2 cm.


4. Hitunglah jari-jari bola yang mempunyai luas permukaan 6,6 cm .
Jawab :
Luas permukaan bola = 4 r
6,6 = 4 x x r
r =
r = 7 cm.


5. Hitunglah luas permukaansebuah bola yang bervolume 36 cm .
Jawab :
Volume bola =
36 =
r =
r = 3 cm
luas permukaan bola = 4 r
= 4 x x 3
= cm .


6. Belahan bola padat mempunyai diameter 20 cm. hitunglah luas permukaan belahan bola padat tersebut.
Jawab :
Belahan bola padat memiliki permukaan bola dan lingkaran dengan
d = 20 cm r = 10 cm
luas permukaan belahan bola padat
= luas bola + luas lingkaran
= (4 r ) + r
= 2 r + r
= 3 r
= 3 x 3,14x10
= 942 cm


7. Sebuah lilin lunak berbentuk limas mempunyai volume 792 cm . apabila lilin tersebut dirubah bentuknya menjadi sebuah kerucut dengan tinggi 21 cm. hitunglah jari-jari alas kerucut tersebut
Jawab :
Volume limas = Volume kerucut
792 = r t
792 = x x r x 21
792 x
36 = r
r = 6 cm


8. Sebuah balok yang kerangkanya terbuat dari kawat, berukuran 25 cm x 10 cm x 7 cm. berapakah panjang kawat yang diperlukan untuk membuat kerangka balok itu?
Jawab :
P = 25 cm = 10 cm dan t = 7 cm
Pada balok terdapat empat rusuk panjang, lebar, tegak maka 4 ( 25 + 10 + 7 ) = 168 cm


9. Volume sebuah kubus 27 liter, tentukan :
a. Luas Bidang kubus
b. Luas permukaan Kubus
Jawab :
Volume = 27 liter = 27 dm
Volume = a = 27 dm
a = (3 dm)
a = 3 dm
a. Luas bidang diagonal kubus

b. Luas permukaan kubus
= 6 a dm
= 6 (3) dm
= 6 . 9 dm
= 54 dm


10. Suatu bangun ruang dibentuk dari limas sisi dengan enam titik sudutnya. Tentukan banyak rusuk bangun ruang itu.
Jawab :
Sisi = S = 5
Titik sudut : T = 6
Berdasarkan rumus S + T = R + 2
5 + 6 = R + 2
11 = R + 2
R = 11 – 2 = 9
Jadi banyaknya rusuk bangun ruang itu ada 9 buah.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar